Matriz diagonalizable

En álgebra lineal, una matriz cuadrada "A" se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal. En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma . En donde "P" es una matriz invertible cuyos vectores columna son vectores propios de A, y D es una matriz diagonal formada por los valores propios de A.Si la matriz A es semejante ortogonalmente a una matriz diagonal, es decir, si la matriz P es ortogonal se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente, pudiendo escribirse como . El teorema espectral garantiza que cualquier matriz cuadrada simétrica con coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable. En este caso P está formada por una base ortonormal de vectores propios de la matriz siendo los valores propios reales. La matriz P es por tanto ortogonal y los vectores filas de  son los vectores columnas de P.

 Sea  una matriz cuadrada con valores en un cuerpo , se dice que la matriz  es diagonalizable si, y sólo si, A se puede descomponer de la forma:

Donde:

•  es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos de , apareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, siendo  el espectro de , es decir, el conjunto de autovalores de la matriz :

•  es la matriz cuyas columnas son los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada  siguiendo el orden establecido en D, esto es, los vectores que forman el núcleo de la matriz :