¿Qué es un endomorfismo? ¿Y un grupo multiplicativo?

1. ENDOMORFISMO: 

►DEFINICIÓN: Se llama endomorfismo a una aplicacion lineal f : V → V de un espacio vectorial V en si mismo. 

►CAMBIO DE BASE EN UN ENDOMORFISMO: Sea V un espacio vectorial y f : V −→ V un endomorfismo cuya matriz respecto de la base B(lo usual, en endomorfismos, es considerar la misma base en los espacios inicial y final) es A, esdecir: f(u) = Au donde A = M(f,B,B) = M(f,B) 

►DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMO: Un endomorfismo es diagonalizable si existen tantos vectores propios como la dimensión del espacio vectorial en el que trabajamos (dimensión de la matriz del endomorfismo).

• Toda matriz simétrica (hermítica en general) siempre es diagonalizable. 

• Si los valores propios son distintos entre sí, siempre es diagonalizable. 

• Si hay valores propios repetidos, será diagonalizable cuando el número de vectores porpios asociados al valor propio repetido coincida con la multiplicidad de dicho valor propio. 

• La matriz diagonal D está formada por los valores propios en la diagonal principal (el resto de los elementos son nulos). 

• La base para la cual la matriz que caracteriza al endomorfismo es la diagonal está formada por los vectores propios. 

• La matriz de paso P que permite el paso de la base inicial (para la cual la matriz del endomorfismo en A) a la nueva base tiene por columnas a los vectores propios colocados en el mismo orden en que hemos colocado los valores propios en la matriz diagonal. 

• Relación entre las matrices: D = P^-1 A P 

• Aplicación de la diagonalización al cálculo de la potencia enésima de una matriz. 

• A = P D P^-1 ==> A^n = P Dn P^-1 

• Pero el cálculo de D^n, es sencillo pues basta con elevar a la n los elementos de la diagonal principal. 

2. GRUPO MULTIPLICATIVO: 

Si G es el grupo multiplicativo de matrices reales invertibles de tamaño 3×3, y N es el subgrupo de matrices con determinante 1, entonces N es normal en G (por ser el núcleo del homomorfismo determinante). Las clases laterales de N son los conjuntos de matrices con determinante dado, con lo cual G/N es isomorfo al grupo multiplicativo de los reales distintos de 0. 

Matriz diagonalizable

En álgebra lineal, una matriz cuadrada "A" se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal. En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma . En donde "P" es una matriz invertible cuyos vectores columna son vectores propios de A, y D es una matriz diagonal formada por los valores propios de A.Si la matriz A es semejante ortogonalmente a una matriz diagonal, es decir, si la matriz P es ortogonal se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente, pudiendo escribirse como . El teorema espectral garantiza que cualquier matriz cuadrada simétrica con coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable. En este caso P está formada por una base ortonormal de vectores propios de la matriz siendo los valores propios reales. La matriz P es por tanto ortogonal y los vectores filas de  son los vectores columnas de P.

 Sea  una matriz cuadrada con valores en un cuerpo , se dice que la matriz  es diagonalizable si, y sólo si, A se puede descomponer de la forma:

Donde:

•  es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos de , apareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, siendo  el espectro de , es decir, el conjunto de autovalores de la matriz :

•  es la matriz cuyas columnas son los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada  siguiendo el orden establecido en D, esto es, los vectores que forman el núcleo de la matriz :

El lenguaje algebraico

           

            En lenguaje algebraico nace en la civilización musulmán en el período de  Al-Khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras del alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética.

            La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

            Por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

            También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

Características del lenguaje algebraico:        

1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve.

2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.

3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos.

Expresiones algebraica:

            Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas. Una expresión algebraica se define como aquella que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.

¿Qué es el álgebra?

            Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita.

            A lo largo de la historia han existido distintas personas que han supuesto grandes avances en el mundo matemático. Rescatamos a cuatro de estas grandes figuras.

 René Descartes ( 1596-1650) fue un filosofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna.

Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) fue un matemático, filosofo y enciclopedista francés. Es célebre por su labor con las ecuaciones diferenciales y a las derivadas parciales.

Bertrand Russell (1872-1970) fue un filósofo, matemático, lógico y escritor británico. Su influencia matemática contribuyó al desarrollo de lógica y  la teoría de conjuntos.

Albert Einstein (1879-1955) es considerado como el científico más importante del siglo XX. Su objetivo principal fue como físico, quiso evaluar la física y no entenderla.

            Cada uno de ellos además de dejarnos sus descubrimientos, nos dejaron importantes frases sobre el mundo matemático:

René Descartes "La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas y razonamientos, todos sencillos y fáciles"

Jean le Rond D'Alembert "El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se pide."

Bertrand Russell  "Las matemáticas pueden ser definidas como aquel tema en el cual ni sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero."

Albert Einstein "Cuando las leyes de la matemática se refieren al a realidad, no son ciertas; cuando son ciertas no se refieren a la realidad."